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考え方を徹底解説!n次元球の体積を求めよう!

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n次元球のイメージ

今回は\(n\)次元球の体積を求めてみようという企画です。
統計力学などの色々なところでお世話になります。
結果はどうであれ、考え方は覚えておきましょう。

以下のような流れで書いていきます。

まずどんな形をしているだろうか…?

\(n\)次元球の体積。それは一体どんな形をしているでしょう。

いきなり一般的に\(n\)次元で考えても、魔境に迷い込むだけなので分かりやすい3次元で考えてみます。

こちらの記事で考えたように半径\(r\)の3次元球の体積は

\(\begin{eqnarray}V_{3}=\frac{4}{3}\pi r^{3}\end{eqnarray}\)

です。\(r^3\)に比例していますね。

ところで2次元空間の円の面積は

\(\begin{eqnarray}V_{2}=\pi r^{2}\end{eqnarray}\)

でした。こちらは\(r^2\)に比例しています。
2次元空間における面積というのは3次元空間における体積と対応しています1
体積というのは、いわばその空間において一番大きなものの空間を占める量なわけです。
従いまして、2次元空間における面積は一般的な”体積”ということになります。

このような一般化によって\(n\)次元空間の球の体積は\(r^n\)に比例するだろうということが予想できます。
現に\(n=3\)次元のときは\(r^3\)に比例しています。

このことに基づき、\(n\)次元球の体積を

\(\begin{eqnarray}V_{n}= A_{n} r^{n}\end{eqnarray}\)

と仮定しましょう。\(A_{n}\)は\(r\)に依らない何かしらの定数です。

\(n\)次元球の体積を求める

それでは\(n\)次元球の体積を求めていきましょう。

それにあたりここで求めたガンマ関数の値を使います。

\(\begin{eqnarray}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) &=& \int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-x^2}{\rm d}x \\ &=& \pi^{1/2}\end{eqnarray}\)

指数関数というのが、ある意味ポイントです。

ここで\(n\)個の指数関数の同様の積分を考えてみましょう;

\(\begin{eqnarray}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-x_{1}^{2}}{\rm e}^{-x_{2}^{2}}\cdots{\rm e}^{-x_{n}^{2}}{\rm d}x_{1}{\rm d}x_{2}\cdots{\rm d}x_{n} &=& \left(\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-x^2}{\rm d}x\right)^{2} \\ &=& \pi^{n/2}\end{eqnarray}\)

しかし、この積分は別の方法で求めることもできます。
まず、\({\rm d}x_{1}{\rm d}x_{2}\cdots{\rm d}x_{n}\)の部分は\(n\)次元空間の微小体積要素なので\({\rm d}V_{n}\)と書きます。

また指数関数の積になっている部分は\({\rm e}^{-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)}\)と書けます;

\(\begin{eqnarray} {\rm d}x_{1}{\rm d}x_{2}\cdots{\rm d}x_{n} &\rightarrow& {\rm d}V_{n} \\ {\rm e}^{-x_{1}^{2}}{\rm e}^{-x_{2}^{2}}\cdots{\rm e}^{-x_{n}^{2}} &\rightarrow& {\rm e}^{-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)} \end{eqnarray}\)

よって

\(\begin{eqnarray} \pi^{n/2} = \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-\left(x_{1}^2+\cdots +x_{n}^2\right)}{\rm d}V_{n}\end{eqnarray}\)

指数関数の肩は、いわゆる\(n\)次元空間での原点からの距離の2乗を表しています。ここで先ほどの\(n\)次元球の体積\(V_{n}\)が\(r^n\)に比例するという仮定を使うと

\(\begin{eqnarray} \pi^{n/2} &=& \int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-r^2}nA_{n}r^{n-1}{\rm d}r \\ &=& nA_{n}\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-r^2}r^{n-1}{\rm d}r \end{eqnarray}\)

この積分はどこかで見たことありますね

Thinking time….

そうです。ガンマ関数です。

\(\begin{eqnarray} \Gamma\left(z\right) &=& \int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-t}t^{z-1}{\rm d}t \\ &=& 2\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-\xi^2}\xi^{2z-1}{\rm d}\xi \end{eqnarray}\)

\(z=\frac{n}{2}\)とするとなんとなく良さそうですね。というわけで先ほどの式は

\(\begin{eqnarray} \pi^{n/2} = A_{n}\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right) \end{eqnarray}\)

以上より\(A_{n}\)は

\(\begin{eqnarray} A_{n} &=& \frac{\pi^{n/2}}{\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \\ &=& \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} \end{eqnarray}\)

よって\(n\)次元球の体積は

\(\begin{eqnarray} V_{n}=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}r^n \end{eqnarray}\)

ガンマ関数はこんなところにも表れてくるんですね。

まとめ

いかがだったでしょうか。

今回は\(n\)次元球の体積を求めてみました。
大学以降の数学では何かとお世話になる量です。
\(n\)次元球が出てくると教室が若干ざわつく感じもしなくはないですが、慣れていきましょう。

他にも色々とお役立ち情報を書いています。参考にしてみて下さい!

最後まで読んでいただきありがとうございました!!

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tsunetthi(at)gmail.com

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  1. ちょっと雑ですが許してください。酔ってるんですv(m_m)v

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