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確率pで起こる事象が起きるまでの試行回数の期待値

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今回も競プロネタです。

今回は確率\(p\)で起こる事象が実際に起きるまでの期待値を求めてみましょう!
色々考え方はあると思いますが、無限級数の和を使ってゴリ押します。
必要になったんだけど思い出せなくてパニックになったときのために、覚えておこうと思って記事を書いておきます。

また、競プロ関連の記事は他にも書いています。今後必要なことを拡充していきたいと思いますので参考にしてみて下さい!

無限等比級数の和

まずは無限等比級数の和の公式を復習します。

収束のために公比\(r<1\)とし、級数

\(\begin{equation} S = \sum_{i = 1}^{\infty}r^i \end{equation}\)

を考えます。計算すると以下のようになります。

\(\begin{equation} S = \frac{r}{1-r} \end{equation}\)

以下、これを求めるための具体的な計算をしていきます。不要な方は飛ばしてください。
部分和

\(\begin{equation} S_{n} = \sum_{i = 1}^{n}r^i \end{equation}\)

を考えます。これは以下のように簡単に求まります。

\(\begin{eqnarray} S_{n} &=& r+r^2+r^3+\cdots + r^n \\ rS_{n} &=& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, r^2+r^3+\cdots + r^n+r^{n+1} \end{eqnarray}\)

より

\(\begin{eqnarray} \left(1-r\right)S_{n} &=& r-r^{n+1} \\ &=& r\left(1-r^n\right) \\ S_{n} &=& \frac{r\left(1-r^n\right)}{1-r} \end{eqnarray}\)

あとは\(n \to \infty\)の極限を考えると\(r<1\)より\(r^n \to 0\)なので答えが求まりました。

確率\(p\)で起こる事象の試行回数の期待値

本題です。

今、確率\(p\)で起こる事象を考え、実際に起きるまでの試行回数の期待値を考えることにします。

試行回数の取りうる値としては1回から\(\infty\)回まであります。
求める期待値を\(E\)とすると、

\(\begin{equation} E = \frac{1}{p} \end{equation}\)

となります。以下これを導出します。
通常の期待値の定義に従うと、

\(\begin{eqnarray} E &=& 1\times p+2\times\left(1-p\right)p+3\times\left(1-p\right)^2 p+\cdots \\ &=& \sum_{k = 1}^{\infty}k\times\left(1-p\right)^{k-1}p \end{eqnarray}\)

\(k = 1\)とそれ以外で分けると

\(\begin{eqnarray} E &=& p+\sum_{k = 2}^{\infty}k\left(1-p\right)^{k-1}p \end{eqnarray}\)

2項目の添え字を1から振り直して項をバラすと

\(\begin{eqnarray} E &=& p+\sum_{k = 1}^{\infty}\left(k+1\right)\left(1-p\right)^{k} p \\ &=& p+\sum_{k = 1}^{\infty}k\left(1-p\right)^{k} p+\sum_{k = 1}^{\infty}\left(1-p\right)^{k} p \\ &=& p+\left(1-p\right)\sum_{k = 1}^{\infty}k\left(1-p\right)^{k-1} p+\sum_{k = 1}^{\infty}\left(1-p\right)^{k} p \end{eqnarray}\)

ここで2項目の総和部分はもともとの期待値の式とそっくり同じですから、\(E\)で置き換えます。

\(\begin{eqnarray} E &=& p+\left(1-p\right)E+\sum_{k = 1}^{\infty}\left(1-p\right)^{k} p \end{eqnarray}\)

3項目は単なる無限級数の和なので先ほどの公式から簡単に求めることができ、

\(\begin{eqnarray} \sum_{k = 1}^{\infty}\left(1-p\right)^{k} p &=& p\times\frac{1-p}{1-\left(1-p\right)} \\ &=& p\times\frac{1-p}{p} \\ &=& 1-p \end{eqnarray}\)

以上より、

\(\begin{eqnarray} E &=& p+\left(1-p\right)E+\left(1-p\right) \\ &=& 1+\left(1-p\right)E \end{eqnarray}\)

整理して

\(\begin{equation} E = \frac{1}{p} \end{equation}\)

を得ます。

ただ、そりゃそうだよねという感じもしなくありません。
例えば確率\(p = 1/n\)(\(n\)回試行して1回起こる)で起こる事象は\(n\)回やれば起こる気がするし、\(p = 2/n\)は\(n/2\)回やれば起こりそうですからね。

まとめ

今回は確率\(p\)で起こる事象が実際に起こるまでの試行回数の期待値を求めてみました!

導出自体はそれほど難しくないのですが、いざ考えようとなるとけっこうつまずくことが多いのでまとめてみました。
これを読んだみなさんの助けになれば幸いです。

もっとこんなことを記事にしてほしいなどのご要望がありましたら、このページ上部のお問い合わせフォームまたは下部のコメント欄からご連絡いただくか、以下のメールアドレスでもお待ちしております。

tsunetthi(at)gmail.com

(at)の部分を@に変えてメールをお送りください。

サムネイル画像はpixabayさんからダウンロードさせていただきました!
ありがとうございます!

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