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微分方程式における可愛さの追求

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キャサリン

微分方程式における可愛さの追求。
ネタ記事です。
追求とか言ってますが、結論から言うと大失敗です。
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目標

微分方程式なので微分演算子は入れる。
(できたら)物理的意味を付与したい。多分無理。

きっかけ

私のフォロワーさんとのtwitter上のやりとりがきっかけである。

よくある、
Navier-Stokes 方程式って可愛いよね
という私のツイートに非常に興味を持ってくれたフォロワーさんがいた。

まぁそこで、
めっちゃ可愛い方程式考えたるから待っときや
と話してしまったので、こういうふざけた記事を書かざるを得なくなっている。

微分方程式における可愛さ

まず一応、微分方程式における可愛さを客観的・定量的に測る指標を導入しなければならない。
しかしながら、可愛いというのは極めて主観的な概念であり、定量化するのは非常に難しい。

そこで、世間一般に認められている、非圧縮粘性流体Navier-Stokes 方程式の可愛さから出発して、その特徴を考察することにより、微分方程式の可愛さを定量化しようと試みてみようと思う。

Navier-Stokes 方程式 (非圧縮粘性流体)

まず、みなさんご存知の通り可愛いNavier-Stokes 方程式とは以下のような「見た目」をしている。今回はあくまでも「可愛さ」の追求であり、その物理的意味などには一切触れない1

\(\begin{eqnarray} \frac{\partial {\bf u}}{\partial {\rm t}}+\left({\bf u}\cdot\nabla\right){\bf u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\Delta {\bf u}+{\bf K} \end{eqnarray}\)

一般に可愛いと解されている項は、左辺第2項、いわゆる移流項と呼ばれる以下である;

\(\begin{equation} T_{{\rm cute}} = \left({\bf u}\cdot\nabla\right){\bf u} \end{equation}\)

私はこの式を書くにあたって、\({\bf u}\)の方が可愛いだろうか、\({\bf v}\)の方が可愛いだろうかと思案した。
やはり文字は丸みがあったほうが可愛いのではなかろうか。
まずこの段階で、すでにNavier-Stokes 方程式の可愛さを定義する指標の手がかりがある。

試しにtwitter上でアンケートをとってみた。

サンプル数が少なすぎるため、あてにしない方が良さそうではあるが
しかし、まぁまぁどちらでも良いという風に解釈することにしよう。

ところで、我々人間は何かを可愛いと思うとき、細部にこだわって見ているだろうか。
例えば、広瀬すずは文句なく可愛いが、
仮にチソ毛のような髪の毛であった場合、広瀬すずは可愛いだろうか。
もはやチソ毛の広瀬すずはチソ毛なのではなかろうか。(錯乱)2

冗談はさておき、先の例において\({\bf u}\)だろうが\({\bf v}\)だろうが、全体的な可愛さには影響が少ないように考えられる。
微分方程式における可愛さというのはすなわち、全体的なフォルム・丸み、そして顔文字を連想させる文字の組み合わせが非常に影響していると考えられる。
世の中には「まる文字」なるものもあるし。。。
以降、「丸み」と「顔文字を連想させる組み合わせ」という2点を軸にして微分方程式における可愛さを考えてみよう。

定量的に可愛さを定義する

以上の議論から、可愛さを定量的に定義できる可能性が出てきた。
さて、項全体の丸みで可愛さを定量的に測ることにしたのはいいのであるが、
どういった数学的指標を使うべきであろうか。

まず最初に思い浮かぶのは曲率である。
しかし、この方向で進むのは非常に危険な香りがする。
なぜならば、\(\nabla\)や\({\bf v}\)などの滑らかな曲線で描けない文字は曲率を定義することが不可能だからである。
また、曲率と可愛さの間に一定の関係を持たせることが大変難しく、解けそうにない。

そこで任意の2点からの接線(または直線)を考え、その交点におけるなす角\(\theta\)の最大値を考えることにしよう。
例えば、先ほどの\({\bf u}\)ならば以下の図のように\(\theta_{{\rm max}}=\pi /2\)である。

2 tangential lines giving the maximum angle \(\theta_{{\rm max}}\)

また、顔文字を連想させる文字の組み合わせということから()や[]、{}などでなにがしかの文字を囲む必要がある。

可愛いアルファベットの候補

この定義だと結構たくさんあって、甲乙つけがたい。
\(\theta_{{\rm max}}=\pi /2\)にならない文字を羅列してみると
i,k,l,v,w,x,z
の7文字のみ。残り19文字は可愛くなれる可能性がある。

試しに適当に書いてみる。

\(\begin{eqnarray} T_{{\rm adv}} &=& \left({\bf a}\cdot\nabla\right){\bf a} \\ T_{{\rm adv}} &=& \left({\bf f}\cdot\nabla\right){\bf f} \\ T_{{\rm adv}} &=& \left({\bf a}\cdot\nabla\right){\bf f} \end{eqnarray}\)

あれれ…!?
なんか全部可愛いぞ!?

特に

\(\begin{equation} T_{{\rm adv}} = \left({\bf a}\cdot\nabla\right){\bf f} \end{equation}\)
なんかは
アホの子がウェーイやってるみたいでキューティだぜ!
これは、大失敗。

まとめ

いかがだったでしょうか。

今回は微分方程式における可愛さの追求をしようとしていたのですが、
いつの間にか移流項の可愛さを追求していました。

でもおかげでちょっと面白いことを思いついたので
すぐにその記事を書こうと思います。
記事はこちら
また、他にも色々とネタ記事は書いているので読んで!!

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tsunetthi(at)gmail.com

(at)の部分を@に変えてメールをお送りください。

  1. いろんな方面から怒られそうだが、気にしない。
  2. 不快に思われた方がいらっしゃいましたら、ごめんなさい。

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